欧拉定理&费马小定理

费马小定理

定义

若 $p$ 为素数，$\gcd(a, p) = 1$，则 $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$。

另一个形式：对于任意整数 $a$，有 $a^p \equiv a \pmod{p}$。

证明

设一个质数为 $p$，我们取一个不为 $p$ 倍数的数 $a$。

构造一个序列：$A=\{1,2,3\dots,p-1\}$，这个序列有着这样一个性质：

$$\prod_{i=1}^{p-1}\space A_i\equiv\prod_{i=1}^{p-1} (A_i\times a) \pmod p$$

证明：

$$\because (A_i,p)=1,(A_i\times a,p)=1$$

又因为每一个 $A_i\times a \pmod p$ 都是独一无二的，且 $A_i\times a \pmod p < p$

得证（每一个 $A_i\times a$ 都对应了一个 $A_i$）

设 $f=(p-1)!$, 则 $f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} \pmod p$

$$\begin{aligned} a^{p-1}\times f &\equiv f \pmod p \\ a^{p-1} &\equiv 1 \pmod p \end{aligned}$$

证毕。

也可用归纳法证明：

显然 $1^p\equiv 1\pmod p$，假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立，那么通过二项式定理有

$$(a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1$$

因为 $\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ 对于 $1\leq k\leq p-1$ 成立，在模 $p$ 意义下 $\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$，那么 $(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$，将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证。

欧拉定理

在了解欧拉定理（Euler's theorem）之前，请先了解 欧拉函数。定理内容如下：

定义

若 $\gcd(a, m) = 1$，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$。

证明

实际上这个证明过程跟上文费马小定理的证明过程是非常相似的：构造一个与 $m$ 互质的数列，再进行操作。

设 $r_1, r_2, \cdots, r_{\varphi(m)}$ 为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系，则 $ar_1, ar_2, \cdots, ar_{\varphi(m)}$ 也为模 $m$ 意义下的一个简化剩余系。所以 $r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \equiv ar_1 \cdot ar_2 \cdots ar_{\varphi(m)} \equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)} \pmod{m}$，可约去 $r_1r_2 \cdots r_{\varphi(m)}$，即得 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$。

当 $m$ 为素数时，由于 $\varphi(m) = m - 1$，代入欧拉定理可立即得到费马小定理。