图的存储

约定

本文默认读者已阅读并了解了图论相关概念中的基础内容，如果在阅读中遇到困难，也可以在图论相关概念中进行查阅。

在本文中，用 $n$ 代指图的点数，用 $m$ 代指图的边数，用 $d^+(u)$ 代指点 $u$ 的出度，即以 $u$ 为出发点的边数。

邻接矩阵

方法

使用一个二维数组 adj 来存边，其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 $u$ 到 $v$ 的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 adj[u][v] 中存储 $u$ 到 $v$ 的边的边权。

参考代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<bool>> adj;

bool find_edge(int u, int v) { return adj[u][v]; }

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int v = 1; v <= n; ++v) {
    if (adj[u][v]) {
      dfs(v);
    }
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1);
  adj.resize(n + 1, vector<bool>(n + 1));

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u][v] = true;
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在某条边： $O(1)$ 。

遍历一个点的所有出边： $O(n)$ 。

遍历整张图： $O(n^2)$ 。

空间复杂度： $O(n^2)$ 。

应用

邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。

其最显著的优点是可以 $O(1)$ 查询一条边是否存在。

由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。

邻接表

方法

使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector<int> adj[n + 1] 来存边，其中 adj[u] 存储的是点 $u$ 的所有出边的相关信息（终点、边权等）。

参考代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<vector<int>> adj;

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) {
    if (adj[u][i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = 0; i < adj[u].size(); ++i) dfs(adj[u][i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1);
  adj.resize(n + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    adj[u].push_back(v);
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在 $u$ 到 $v$ 的边： $O(d^+(u))$ （如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到 $O(\log(d^+(u)))$ ）。

遍历点 $u$ 的所有出边： $O(d^+(u))$ 。

遍历整张图： $O(n+m)$ 。

空间复杂度： $O(m)$ 。

应用

存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。

尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。

链式前向星

方法

本质上是用链表实现的邻接表，核心代码如下：

参考代码

// head[u] 和 cnt 的初始值都为 -1
void add(int u, int v) {
  nxt[++cnt] = head[u];  // 当前边的后继
  head[u] = cnt;         // 起点 u 的第一条边
  to[cnt] = v;           // 当前边的终点
}

// 遍历 u 的出边
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
  int v = to[i];
}

参考代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int n, m;
vector<bool> vis;
vector<int> head, nxt, to;

void add(int u, int v) {
  nxt.push_back(head[u]);
  head[u] = to.size();
  to.push_back(v);
}

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
    if (to[i] == v) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
  if (vis[u]) return;
  vis[u] = true;
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) dfs(to[i]);
}

int main() {
  cin >> n >> m;

  vis.resize(n + 1, false);
  head.resize(n + 1, -1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    add(u, v);
  }

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在 $u$ 到 $v$ 的边： $O(d^+(u))$ 。

遍历点 $u$ 的所有出边： $O(d^+(u))$ 。

遍历整张图： $O(n+m)$ 。

空间复杂度： $O(m)$ 。

应用

存各种图都很适合，但不能快速查询一条边是否存在，也不能方便地对一个点的出边进行排序。

优点是边是带编号的，有时会非常有用，而且如果 cnt 的初始值为奇数，存双向边时 i ^ 1 即是 i 的反边（常用于网络流）。

稀疏图适合的存储方式为？

Question 1 of 2

图的存储

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